Budżet niepewności pomiaru krok po kroku: jak uczciwie podać dokładność czujnika

Każdy, kto porównywał noty katalogowe czujników, zna ten problem: jeden producent podaje „dokładność typową”, drugi „maksymalną”, trzeci „rozdzielczość”, a czwarty nie informuje, w jakich warunkach obowiązują te liczby. Tymczasem użytkownika interesuje jedno: w jakim przedziale leży prawdziwa wartość mierzonej wielkości. Odpowiedź na to pytanie daje niepewność pomiaru, wyznaczana według międzynarodowego przewodnika GUM.

Błąd a niepewność

Błąd to różnica między wynikiem a wartością prawdziwą. Nie znamy go, bo nie znamy wartości prawdziwej. Niepewność to parametr opisujący rozrzut wartości, które można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej. Znane błędy systematyczne (np. przesunięcie zera wyznaczone podczas kalibracji) koryguje się, a niepewność obejmuje to, czego skorygować się nie da.

Krok 1. Model pomiaru

Zapisz, jak wynik zależy od wielkości wejściowych. Dla prostego czujnika temperatury z korekcją kalibracyjną może to być: T = Todczyt + Kkal + δrozdz + δdryf + δmontaż. Każdy składnik to osobne źródło niepewności. Składniki o wartości oczekiwanej równej zeru często wpisuje się do modelu tylko po to, by nie zapomnieć o ich rozrzucie.

Krok 2. Lista źródeł

Typowe źródła niepewności w budżecie czujnika:

• powtarzalność (rozrzut kolejnych odczytów w tych samych warunkach);
• niepewność wzorca użytego do kalibracji;
• rozdzielczość przetwornika;
• dryf długoterminowy między kalibracjami;
• wpływ temperatury otoczenia, wilgotności i napięcia zasilania;
• wpływ montażu i sposobu kontaktu z obiektem (często największy, a mimo to pomijany).

Krok 3. Niepewności standardowe

Każde źródło trzeba wyrazić jako niepewność standardową (odpowiednik odchylenia standardowego):

• Metoda typu A – z serii pomiarów: odchylenie standardowe średniej, s/√n.
• Metoda typu B – na podstawie innych informacji: świadectwa wzorcowania, noty katalogowej, doświadczenia. Jeśli wiemy tylko, że błąd mieści się w granicach ±a, i zakładamy rozkład prostokątny, niepewność standardowa wynosi a/√3. Dla rozdzielczości przetwornika q przyjmuje się zwykle q/(2√3).

Jeśli świadectwo wzorcowania podaje niepewność rozszerzoną U przy k = 2, niepewność standardowa wzorca to U/2.

Krok 4. Współczynniki wrażliwości i złożenie

Każdą składową mnoży się przez współczynnik wrażliwości, czyli pochodną cząstkową wyniku względem danej wielkości wejściowej. Na przykład wpływ temperatury otoczenia na czujnik ciśnienia wyraża się w paskalach na stopień. Dla wielkości nieskorelowanych niepewność złożona to pierwiastek z sumy kwadratów składowych: uc = √(Σ (ci·ui)²). Jeśli źródła są skorelowane (np. dwa czujniki kalibrowane tym samym wzorcem), trzeba uwzględnić kowariancje.

Krok 5. Niepewność rozszerzona

Na koniec mnoży się niepewność złożoną przez współczynnik rozszerzenia k. Najczęściej k = 2, co dla rozkładu zbliżonego do normalnego odpowiada poziomowi ufności około 95%. Wynik podaje się w postaci: wartość ± U (k = 2).

Źródło	Typ	Rozkład	ui	Udział
Powtarzalność	A	normalny	0,010 °C	mały
Wzorzec (U = 0,03 °C, k = 2)	B	normalny	0,015 °C	średni
Rozdzielczość 0,01 °C	B	prostokątny	0,003 °C	pomijalny
Dryf roczny ±0,05 °C	B	prostokątny	0,029 °C	duży
Gradient przy montażu ±0,08 °C	B	prostokątny	0,046 °C	dominujący

W tym przykładzie (liczby są ilustracyjne) niepewność złożona wynosi około 0,057 °C, a rozszerzona U ≈ 0,12 °C (k = 2). Od razu widać, że droższy czujnik niewiele by zmienił. Największy udział ma montaż, a w dalszej kolejności dryf.

Źródła

1. JCGM 100:2008. Evaluation of measurement data – Guide to the expression of uncertainty in measurement (GUM). BIPM. bipm.org
2. JCGM 200:2012. International vocabulary of metrology – Basic and general concepts and associated terms (VIM), wyd. 3. BIPM.
3. EA-4/02 M:2022. Evaluation of the Uncertainty of Measurement in Calibration. European co-operation for Accreditation.

• metrologia
• czujniki
• kalibracja